A Descoberta da Geometria da Natureza através da Matemática
Descobrir a Natureza através da Matemática e descobrir a Matemática na Natureza - Esta Ideia concretiza-se nas lições áudio "The Shape of Nature" do Prof. Satyan L. Devadoss - publicados em 2010 pela TTC (The Teaching Company). Geometria, Forma, Função, Dimensão, Espaço - conceitos e ideias que palpamos na Natureza e que nos deixam mergulhar na imaginação criativa da Matemática.Apresentamos alguns livros e uma linha de orientação para um estudo da Geometria da Natureza a qual vamos seguir nos próximos tempos neste blogue. Não é ainda um plano completamente determinado, mas pelo menos uma linha de orientação - e quem não pode ou não quer esperar pelas nossas contribuições, pode já abrir estes livros e começar a ler. Vão descobrir um mundo novo e fascinante que deixa um espaço enorme para a fantasia e para a descoberta das maravilhas que existem neste mundo.
Euclides de Alexandria (em grego antigo Εὐκλείδης Eukleidēs; 360 a.C. — 295 a.C.) foi um professor, matemático platónico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Ele era ativo em Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I (323-283 a.C.). Sua obra Os Elementos é uma das mais influentes na história da matemática, servindo como o principal livro para o ensino de matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX ou início do século XX. Nessa obra, os princípios do que é hoje chamado de geometria euclidiana foram deduzidos a partir de um pequeno conjunto de axiomas. No entanto, a partir do século XIX muito mudou na geometria.
Começamos a nossa aventura com um romance que foi publicado em 1884 por Edwin A. Abbott: "Flatland - A Romance of Many Dimensions". A edição portuguesa do livro foi publicada em 2006 e tem o título: "Flatland - Uma Aventura em Muitas Dimensões".
Este romance demonstra de uma maneira muito educativa conceitos da geometria e topologia - sobretudo a diferença entre estar intrinsecamente no mundo e de ver o mundo por uma perspectiva de dimensão mais alta, por uma perspectiva extrínseca. Nós, os seres humanos ou "Spacelanders" estamos limitados a uma percepção intrínseca em três dimensões, mas podemos fazer especulações fundamentadas na geometria e topologia sobre a verdadeira natureza do nosso espaço. Podemos também imaginar como seria a percepção do mundo se vivêssemos apenas como "Flatlanders" dentro de uma folha de papel ou de uma outra superfície. Reconhecemos imediatamente que a percepção de um mundo numa única ou em duas dimensões trazia muitas limitações. Se vivessemos num mundo 1-dimensional, quer dizer numa linha, podiamos olhar apenas para trás ou para frente e ver um ponto em frente ou atrás de nós. Num mundo de 2 dimensões (p.e. uma folha de papel) todo seria achatado e apenas visível como pontos ou linhas. Não podíamos diferenciar um círculo de um triângulo, nem ver nada que estava acima ou debaixo da superfície em que vivíamos. Abbott explora esta ideia da percepção intrínseca do mundo em dimensões diferentes no seu romance e conduz-nos de uma forma elegante para as geometrias em diferentes dimensões. Percebemos que não apenas os "Linelanders" ou "Flatlanders" são limitados na percepção do seu mundo, mas também nós, os "Spacelanders", que apenas podem experimentar intrinsecamente o mundo de 3 dimensões. Para ter a certeza qual é a verdadeira natureza geométrica do Mundo e do Universo tínhamos de nos levantar para dimensões mais elevadas a observar o Mundo e o Universo extrinsecamente.
No entanto, mais tarde vamos ver que podemos através da geometria e topologia tirar conclusões plausíveis sobre a possível geometria deste Universo em que vivemos.
E aqui o fantástico filme "Flatland" de Seth Caplan
Flatland
Baseado na Novela "Flatland - A Romance of Many Dimensions" de E.A. Abbott.
Flatland
Baseado na Novela "Flatland - A Romance of Many Dimensions" de E.A. Abbott.
Vamos então explorar a geometria e topolog ia em várias dimensões. Para isso orientamo-nos num livro de Jeffrey R. Weeks: "The Shape of Space" publicado em 2002. Este livro introduz conceitos da geometria e topologia de uma maneira básica e bem clara permitindo-nos um entendimento da possível geometria e topologia do nosso Universo.
Também exploramos o mundo da "Matemática dos Nós" num livro chamado: "The Knot Book" escrito por Colin C. Adams em 1994 e as aplicações surpreendentes e na primeira linha de investigação que este "Mundo dos Nós" traz para as Ciências da Natureza.
A seguir ao conhecimento do mundo geométrico em 1 a 3 dimensões partimos para um mundo de mais dimensões, também chamado n-dimensional. Vamos explorar o mundo da classificação e da visualização do Espaço e da Natureza a partir de um mundo algébrico de n dimensões e da sua visualização em espaço de dimensão reduzida. Introduzimos aqui um livro publicado em 1990: "Proceesdings of The Michigan Morphometrics Workshop" de J. James Rohlf e Fred. L. Bookstein para estudar os métodos da classificação das formas da Natureza.
Para visualização de Informação n-dimensional eficazmente no mundo dos "Spacelanders", dos "Flatlanders" ou dos "Linelanders" preservando o máximo possível da informação n-dimensional, tiramos ideias de um livro de Edward R. Tufte: "Envisioning Information" publicado em 2001.
Já conhecemos o mundo microscópico da DNA e e macroscópico do Universo através das geometrias e topologias em nós, superfícies e variedades.
No entanto, existe uma nova abordagem do mundo de objectos geométricos que se assemelham com as suas partes proprias: a Geometria Fractal. Esta geometria tira partida do facto que muitos fenómenos na Natureza repetem-se em escalas diferentes. Foi Benoit B. Mandelbrot que criou o termo "Fractal" em 1975 para estes fenómenos e objectos numa geometria não Euclidiana. O termo é usado tanto para os objectos na Natureza que demonstram invariância na escala (e por isso são autossimilares) como para a própria geometria que introduz dimensões não inteiras (dimensões fractais). Benoit B. Mandelbrot publicou as suas visões do mundo fractal num livro famoso: "The Fractal Geometry of Nature" em 1977.
Igualmente fascinante como a Geometria Fractal da Natureza é o mundo dos algorítmos para modelação fractal de flores e árvores - num livro de Przemyslaw Prusinkiewicz e de Aristid Lindenmayer: (The Algorithmic Beauty of Plants)
Finalizamos a nossa excursão pela Geometria da Natureza com uma observação que já fizemos no início: Forma e Função estão intimamente ligadas na Natureza. A Natureza não é apenas infinitamente criativa nas formas, mas também o mais engenhoso utilizador do material que está à sua disposição - a Natureza é o último optimizador - minimiza o gasto e maximiza as qualidades funcionais dos seus produtos. Isto conduz-nos a novas disciplinas na Informática e Matemática.
A Geometria Computacional (Computational Geometry) é uma nova disciplina que nasceu com a era dos computadores e que hoje faz parte da geometria moderna. As provas de problemas na Matemática são cada vez mais feitas com ajuda de computadores e a questão de encontrar uma receita computacional que permite encontrar uma solução em tempo finito, são questões importantes na era da Informática e Matemática. A importante questão da complexidade computacional vai ser abordadas nesta última parte do blogue.
E por fim quero ainda mencionar um clássico sobre Inteligência Artificial que reúne também os conceitos da Geometria da Natureza e da Matemática das Formas, num livro extraordinário de Douglas R. Hofstadter: "Goedel, Escher, Bach - An Eternal Golden Braid" numa abordagem fascinante e numa procura para as raízes da nossa capacidade de viver conscientemente num mundo da Complexidades das Formas.
